PERSAMAAN GERAK

Posisi titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu bidang datar maupun dalam bidang ruang.

Vektor yang dipergunakan untuk menentukan posisi disebut VEKTOR POSISI yang ditulis dalam Vektor satuan.

VEKTOR SATUAN.

/ / = /  / = /  / = 1

 adalah vektor satuan pada sumbu x.

 adalah vektor satuan pada sumbyu y.

 adalah vektor satuan pada sumbu z.

POSISI TITIK MATERI PADA SUATU BIDANG DATAR.

 

Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan :  = x  + y

 

Contoh :  = 5  + 3

Panjang r ditulis /  / = / 0A /

/  / =

        =

        =  satuan

POSISI TITIK MATERI PADA SUATU RUANG.

 

Posisi titik materi ini dapat dinyatakan dengan :  = x  + y  + z

Contoh :  = 4  + 3  + 2

Panjang vektor  ditulis /  /

/  / =

        =

        =  satuan

KECEPATAN SUATU TITIK MATERI.

Gerakan titik materi secara keseluruhan dapat diamati jika posisinya setiap saat diketahui. Seberapa cepat letak titik materi itu berubah setiap saat disebut : KECEPATAN .

PERHATIKAN.

Titik materi yang bergerak dari A yang posisinya ₁ pada saat t₁, ke titik B yang posisinya ₂ pada saat t_2.

Vektor perpindahannya  dan selang waktu yang dipergunakan titik materi untuk bergerak dari A ke B adalah

Kecepatan rata-rata didefinisikan :

 

Pada persamaan di atas tampak bahwa kecepatan rata-rata tidak tergantung pada lintasan titik materi, tetapi tergantung dari posisi awal (  ) dan posisi akhir (). Jika ingin diketahui kecepatan titik materi pada suatu saat misal saat titik materi berada di antara A dan B, digunakan kecepatan sesaat.

Kecepatan sesaat didefinisikan :

Secara matematis ditulis sebagai :

Jadi kecepatan sesaat merupakan turunan pertama dari posisi terhadap waktu (t)

Besarnya kecepatan disebut dengan laju

Laju didefinisikan sebagai :

Laju dapat pula berarti panjang lintasan dibagi waktu yang bersangkutan.

Nilai dari komponen kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan grafik yang dibentuk oleh komponen posisi ( r ) terhadap waktu ( t ).

Persamaan kecepatan sesaat dari grafik di samping di dapat :

v₁ = tg a₁

v₂ = tg a₂

Makin besar derajat kemiringannya makin besar pula harga kecepatannya.

Posisi dari suatu titik materi yang bergerak merupakan fungsi waktu, oleh karena itu, vektor posisi  dapat ditulis sebagai  =  ( t ) artinya  merupakan fungsi waktu ( t ).

Kecepatan titik materi pada sebuah bidang datar/ruang dapat ditulis :

 

                    

 

X, Y, Z merupakan fungsi dari waktu.

Sebaliknya untuk menentukan posisi titik materi jika diketahui fungsi kecepatannya maka dapat diselesaikan dengan INTEGRAL ( kebalikan dari deferensial ).

Contoh : 

v_(t)  = 2 t  +  5 m/det

maka persamaan posisi titik materi tersebut adalah ......

 =

          

 =  t ²  +  5 t  +  C  meter

Dengan C adalah suatu konstanta.

Harga C dicari dengan suatu syarat batas tertentu, misalnya :

t = 0  _(t) = 0 maka harga C dapat dihitung C = 0

PERCEPATAN

Kecepatan titik materi dapat berubah-ubah setiap saat baik besar, atau arah, ataupun kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan yang dialami oleh titik materi tersebut.

Jika pada saat t₁ kecepatan v₁ dan pada saat t₂ kecepatannya v₂, percepatan rata-ratanya dalam selang waktu  D t = t ₂ -t ₁   didefinisikan sebagai :

 

 

 

Percepatan sesaatnya :

 

Percepatan merupakan tutunan pertama dari kecepatan terhadap waktu (t) atau turunan kedua dari posisi terhadap waktu (t).

Kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan komponen grafik kecepatan (v) terhadap waktu (t).

dari grafik di samping besar percepatan sesaat :

 a ₁  =  tg  a ₁

 a ₂  =  tg  a ₂

Percepatan dalam arah masing-masing sumbu dalam bidang/ruang dapat dituliskan sebagai :

Sebaliknya untuk menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan terhadap waktu dengan cara mengintegralkan :

 

 

KESIMPULAN :

Posisi titik materi, kecepatan dan percepatan merupakan besaran vektor, sehingga dapat dinyatakan dengan VEKTOR SATUAN.

 

POSISI                       

 

KECEPATAN           

 

PERCEPATAN        

 

CONTOH SOAL.

(akan dibahas di kelas)

CONTOH 1.

Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan posisi :

 

2.    Carilah kedudukan benda pada saat t = 3 detik.

3.    Hitunglah perpindahan/pergeseran selama 3 detik pertama.

4.    Hitunglah kecepatan rata-rata selama 2 detik pertama.

5.    Hitunglah kecepatan rata-rata selama 2 detik kedua.

6.    Hitunglah kecepatan pada saat t = 2 detik.

7.    Hitunglah percepatan rata-rata selama 2 detik ketiga.

8.    Hitunglah percepatan pada saat t = 3 detik.

9.    Hitunglah kecepatan dan percepatan pada saat benda di x = 0

10.   carilah kedudukan benda pada saat kecepatannya NOL.

11.   Carilah kedudukan benda pada saat kecepatannya maksimum

12.   Hitunglah selang waktu benda bergerak ke kiri.

13.   Hitunglah selang waktu benda bergerak ke kanan.

14.   Hitunglah waktu yang dibutuhkan benda untuk kembali ke tempat semula setelah bergerak.

15.   Carilah kedudukan benda saat benda tepat berbalik arah.

16.   Carilah kledudukan benda pada saat percepatannya 10 m/s²

17.   Carilah kedudukan benda pada saat kecepatannya 11 m/s

18.   Hitunglah panjang lintasan yang ditempuh selama 3 detik pertama.

CONTOH 2.

Suatu benda bergerak dengan vektor percepatan sebagai berikut :

        Y                     

    5             a       

     0           3                    X    

Pada saat t = 0  v_x = 2 , v_y = 0 dan r_x = 2 , r_y = 4

2.    Hitunglah kelajuan rata-rata 2 detik pertama.

3.    Hitunglah kelajuan pada saat t = 2 detik.

4.    Hitunglah pergeseran pada saat 2 detik pertama.

5.    Hitunglah kecepatan rata-rata 2 detik kedua.

6.    Hitunglah kecepatan pada saat t = 4 detik.

7.    Carilah posisi titik pada detik kedua.

CONTOH 3.

Suatu benda bergerak sepanjang sumbu-x dengan grafik fungsi percepatan terhadap waktu sebagai berikut :

      a(m/s²)

   6

  

    0                   6        t (s)

     Pada saat t = 0, v = 0 dan x = 0

2.    Carilah kedudukan benda pada saat t = 3 detik.

3.    Hitunglah perpindahan selama 3 detik pertama.

4.    Hitunglah kecepatan rata-rata selama 2 detik kedua.

5.    Hitunglah kecepatan pada saat t = 2 detik.

6.    Hitunglah kecepatan pada saat benda kembali ke titik asal setelah bergerak.

7.    Carilah kedudukan benda pada saat jkecepatannya maksimum.

8.    Hitunglah selang waktu benda bergerak ke kiri.

9.    Hitunglah selang waktu benda bergerak ke kanan.

10.   Carilah kedudukan benda pada saat benda tepat berbalik arah.

11.   Hitunglah panjang lintasan yang ditempuh selama 3 detik pertama.

CONTOH 4.

Suatu benda bergerak sepanjang sumbu x dengan percepatan sebesar :

A = 2x + 4 pada saat x = 0 v = 4 m/s. Hitunglah kecepatannya pada x = 4 meter.

CONTOH 5.

      a(m/s²)         

   6

   4

 

   0               4           7         t(s)

Suatu benda bergerak sepanjang sumbu x dengan grafik percepatan terhadap waktu seperti grafik di atas. Pada saat t = 0 , v = 2 m/s  dan x = 10 m.

2.    Hitunglah keceptan rata-rata pada selang waktu t = 3 detik dan

     t = 6     detik.

3.    Hitunglah jarak yang ditempuh t = 0 hingga detik ke lima.

TUGAS SOAL-SOAL

1.  Sebuah partikel bergerak searah dengan sumbu x , percepatannya a = 5t + 4 (a dalam

     m/s² dan t dalam detik). Mula-mula partikel tersebut terletak pada x = 10 meter

     dengan kecepatan 6 m/detik. Tentukanlah :

a. Posisi partikel pada t = 4 detik.

b. Kecepatan partikel pada t = 5 detik.

c. Posisi partikel pada saat kecepatannya 12 m/detik.

d. Kecepatan partikel pada saat percepatannya 20 m/s².

2.      Suatu benda bergerak sepanjang sumbu-x mengikuti persamaan x = 2t³ + 5t² - 5 dengan x dalam meter dan t dalam detik.

a. Tentukan persaman kecepatan dan persamaan percepatan.

b. Tentukan posisi, kecepatan dan percepatan pada t = 2 s.

c. Tentukan kecepatan rata-rata serta percepatan rata-rata antara t = 2 s dan t = 3 s.

3.      Benda dengan kecepatan awal nol dipercepat dengan a_x = 3 m/s² dan a_y = -4 m/s² 

      selama periode 2 detik. Carilah besar dan arah v pada akhir dari waktu itu.

4.      Gerakan sebuah partikel merupakan fungsi posisi yang dinyatakan dengan persamaan    a = 4x + 3  (a dalam m/det² dan x dalam meter) pada saat x = 0 kecepatannya 2 m/detik. Tentukan kecepatan partikel tersebut pada saat x = 6 m

5.      Suatu benda bergerak sepanjang sumbu x dengan :

           

            Dimana posisi benda tersebut pada saat kecepatnnya maksimum.

6.      Suatu benda mempunyai vector posisi :

          dan 

       Tentukan persamaan kecepatan pada saat perlajuannya 2 satuan.

7.          a (m/s)

        6

       

 

                                                                                           t (s)

                               3              6                            12

      Benda bergerak sepanjang sumbu x menurut grafik percepatan seperti di atas.

      Pada saat t = 0, v = 0 dan r = 0. carilah posisi benda pada saat detik ke-9

8.           a(m/s)

 

          4      A            B

          2

     

 

                         2              4                     t (s)

Benda A dan B bergerak sepanjang sumbu x, menurut grafik percepatan di atas, keduanya berangkat bersamaan dan dari tempat yang sama menuju arah yang sama, pada saat t = 0, v = 0 dan r = 0, kapan dan dimana A dan B bertemu kembali.